题目

设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图像与x轴相切于M（3，0）． （1） 求f（x）的解析式； （2） 是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由． 答案： 解：f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有 ，即 ，解得 ．∴f（x）=x3﹣6x2+9x 解：f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），由f′（x）=0，得x=1或x=3．当x∈（﹣∞，1），（3，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，∴f（x）=x3﹣6x2+9x的极大值为4，极小值为0．①若极值点3在[s，t]上，∵函数的值域也是[s，t]，∴0∈[s，t]，这与s＞0矛盾；②若极值点1在[s，t]上，∵函数的值域也是[s，t]，∴4∈[s，t]，这与0＜s≤1≤t＜3矛盾；③若f（x）=x3﹣6x2+9x在区间[s，t]上单调递增，即0＜s＜t＜1或3＜s＜t，则 ，即s，t是方程x3﹣6x2+9x=x的两个不同正根，解得 舍去；④若f（x）=x3﹣6x2+9x在区间[s，t]上单调递减，即1≤s＜t≤3，则 ，两式相减并除以s﹣t得：（s+t）2﹣6（s+t）﹣st+10=0*，两式相除并开方可得：s（s﹣3）=t（t﹣3），∴s+t=3．代入*得st=1．∴s，t为方程x2﹣3x+1=0的两根，解得： ．综上，存在 满足条件

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