题目

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P ， 射线DF与线段BC相交于点Q ． （1） 如图，当射线DF经过点B ， 即点Q与点B重合时，易证 ．此时， ＝． （2） 将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问 的值是否改变？说明你的理由． （3） 在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y ， 求y与x的函数关系式． 答案： 【1】8 解： AP⋅CQ 的值不会改变，理由如下： ∵ 在 △APD 与 △CDQ 中， ∠A=∠C=45° ， ∴ ∠APD=180°−∠A−∠ADP=135°−∠ADP ， ∵ ∠PDQ=45° ， ∴ ∠CDQ=180°−∠PDQ−∠ADP=135°−∠ADP ， ∴∠APD=∠CDQ ， ∴△APD∽△CDQ ． ∴AP：AD=CD：CQ ． ∴AP⋅CQ=AD⋅CD=AD2=(12AC)2=8 ； ∴ AP⋅CQ 的值不会改变； 解： 当 2<x<4 ，即 2<CQ<4 时， 0°<α<45° ， 此时两三角板重叠部分为四边形 DPBQ ，过D作 DG⊥AP 于G， DN⊥BC 于N， ∴DG=DN=2 ， 由（2）知： AP⋅CQ=8 ， ∴ AP=8x ， 则 y=12AB⋅BC−12CQ⋅DN−12AP⋅DG =8−x−8x(2<x<4) ， ∴y 与x的函数关系式为： y=8−x−8x(2<x<4) ．

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