题目

如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F． （Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长． 答案：（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径， 所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB= 42−22 =2 3 ，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC= (23)2+42 =2 7 ，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2 7 AE=12，即AE= 677

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