题目

如图，在中， ， ， ． 动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作交AC或BC于点Q，分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设与重叠部分的面积为S，点P运动的时间为秒． （1） 当点Q在AC上时，CQ的长为（用含t的代数式表示）． （2） 当点M落在BC上时，求t的值． （3） 当与的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式． （4） 点N为PM中点，直接写出点N到的两个顶点的距离相等时t的值． 答案： 【1】4−5t 解：∵AQ∥PM，AP∥QM，∴四边形AQMP是平行四边形．∴AP=QM=4t．当点M落在BC上时，∵AP∥QM，∴∠CQM=∠CAB．∵∠C=∠C，∴△CQM∽△CAB，∴CQAC=QMAB．∴4−5t4=4t5．∴t=2041．∴当点M落在BC上时，t=2041； 解：当0<t≤2041时，此时△PQM与△ABC的重合部分为三角形，由（1）（2）知：AQ=5t，AP=QM=4t，∴PQ=AQ2−AP2=3t，∵∠PQM=∠QPA=90°∴S=12×QM×PQ=12×3t×4t=6t2，当Q与C重合时，CQ=0，即4-5t=0，∴t=45当2041<t<45，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形，当45≤t<54时，如下图：∵AP=4t，∴PB=5-4t，∵PM∥AC∴PHAC=BHBC=PBAB，即PH4=BH3=5−4t5∴PH=4(5−4t)5，BH=3(5−4t)5，∵ACBC=tanB=PQPB，∴43=PQ5−4t，∴PQ=4(5−4t)3，∴S=S△PQB-S△BPH，=12PB×PQ−12BH×PH=12(5−4t)×4(5−4t)3−12×3(5−4t)5×4(5−4t)5 =51275t2−25615t+323．综上所述：当0<t≤2041，S=6t2；当45≤t<54时，S=51275t2−25615t+323 t1=2057，t2=512，t3=58

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