题目

已知数列 ， ，其中 为等差数列，且满足 ， ， ， ． （1） 求数列 ， 的通项公式； （2） 设 ，求证： ． 答案： 解：当 n=1 ，时， a1b2=a2b1+1 ， 已知 a1=b1=1 ， b2=3 ，解得 a2=2 ，公差 d=1 ， an=n . 因此 nbn+1=(n+1)bn+n(n+1)2n ， bn+1n+1=bnn+12n ， 累加得 bnn−b11=1−12n−1⇒bn=2n−n2n−1 ; 解：法一： cn=an−1(2an+1−bn+1)(2an−bn)2n=(n−1)2n−1n(n+1) =2nn+1−2n−1n , c1+c2+c3+⋯+cn=(212−201)+(223−212)+(234−223)+⋯+(2nn+1−2n−1n) =2nn+1−1<2nn−1 . 法二：因为 n=1 时， c1=0<21−1 ，成立， n=2 时， c1+c2=0+13<222−1=1 成立. 下面用数学归纳法证明 n≥3 时不等式 c1+c2+⋯cn<2nn−1 成立. ①当 n=3 时， c1+c2+c3=0+13+23<233−1 成立. ②假设 n=k(k≥3,k∈N*) 时， c1+c2+⋯ck<2kk−1 成立, 那么 n=k+1 时， c1+c2+⋯ck+ck+1<2kk−1+k⋅2k(k+1)(k+2) . 要证 2kk−1+k⋅2k(k+1)(k+2)<2k+1k+1−1 成立, 只要证 1k+k(k+1)(k+2)<2k+1 成立, 只要证 (k+1)(k+2)+k2<2k(k+2) , 只要证 k>2 ，显然成立, 所以，当 n=k+1 时，不等式 c1+c2+⋯ck+1<2k+1k+1−1 成立. 根据（1）（2）不等式对任意 n≥3 ， n∈N* 成立. 所以对任意 n∈N* ，不等式 c1+c2+⋯cn<2nn−1 成立.

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