题目

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AD. （1） 作△ACD的高AE，点E为垂足（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2） 在射线CD上找一点P，使△PCB与（1）中所作的△ACE全等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.并证明你所作出的△PCB与△ACE全等. 答案： 解：如图，用尺规作∠CAD的角平分线AE交CD于E，AE即为所求； 解：如图，用尺规过点B作BP⊥CD交CD的延长线于点P，点P即为所求； 证明：∵BP⊥CD、∠ACB＝90° ∴∠ACB＝∠CPB=90°， ∠PCB+∠ACP=90°，∠PCB+∠CBP=90° ∴∠ACP=∠CBP ∵AC＝AD，AE平分∠CAD ∴∠AEC=90°＝∠CPB 在△ACE和△CBP中 {∠AEC＝∠CPB∠ACP=∠CBPAC=BC ∴△ACE≌△CBP（AAS）.

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