题目

已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为M， ，且原点O到直线 的距离为 . （1） 求椭圆C的方程： （2） 已知斜率为 的直线l交椭圆C于A、B两点，求 的取值范围. 答案： 由题设条件及椭圆对称性知， |MF1|=|MF2| ，而 ∠F1MF2=2π3 ，则 ∠MF1F2=π6 ，如图： 直线 MF1 ： y=33x+b ，即 x−3y+3b=0 ，由点到直线距离公式得 3b12+(−3)2=3b2=32 ，则b=1， 点 F1(−3，0) ，即椭圆半焦距 c=3 ，于是有 a2=b2+c2=4 ， 所以曲线C的方程为 x24+y2=1 ； 设直线l的纵截距为m，则l的方程为 y=−36x+m ， 由 {x2+4y2=4y=−36x+m 消去y化简整理得 x2−3mx+3m2−3=0 ， 因为直线l交椭圆于A，B两点，从而有 Δ=−9m2+12>0 ，解得 0≤m2<43 ， 设 A(x1，y1)，A(x2，y2) ，则有 x1+x2=3m ， x1x2=3m2−3 ， y1y2=(−36x1+m)(−36x2+m)=112x1x2−36m(x1+x2)+m2=3m2−14 ， 则 OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=154m2−134∈[−134，74) ， 所以 OA→⋅OB→ 的取值范围 [−134，74) .

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