题目

设 ，且 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. 答案：解：（Ⅰ）法一： tanα2=tan(α2+π4−π4)=tan(α2+π4)−tanπ41+tan(α2+π4)tanπ4=12 ， ∴cosα=cos2α2−sin2α2=cos2α2sin2α2cos2α2+sin2α2=1−tan2α21+tan2α2=35 法二：令 θ=α2+π4 ，则 tanθ=3 ， cosα=sin(α+π2)=sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=35 . （Ⅱ） ∵α∈(0,π) ， ∴sinα>0 ， sinα=1−cos2α=45 ∵sin(α+β)=513<sinα ， β>0 ， α+β∈(π2,π) ， ∴cos(α+β)<0 . ∴cos(α+β)=−1−sin2(α+β)=−1213 . ∴cosβ=cos(α+β−α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−1213×35+513×45=−1665

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