题目

已知函数 . （1） 求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若 对于任意的 都成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：由题意得： f′(x)=ex−2ax ， 所以切线的斜率 k=f′(0)=1 .  因为 f(0)=e0+1=2 ， 即切点为（0,2）， 所以切线的方程 y=x+2 . 解法1：由已知，对于任意的 x∈[0,1] ， ex−ax2+1  ≥ 2 都成立， 即对于任意的 x∈[ 0 , 1 ] ， a x2  ≤  ex−1 都成立.  当 x=0 时， a x2 =0≤ ex−1=0 显然成立.   当 x≠0 时，对于任意的 x∈(0,1] ， a ≤ex−1x2 都成立.    设 g(x)=ex−1x2 ，则 a ≤ g(x)min .                      而 g′(x)=ex⋅x2−2x(ex−1)x4=(x−2)ex+2x3 .            设 h(x)=(x−2)ex+2 ，则 h′(x)=(x−1)ex .              由 x∈(0,1] ，得 h′(x) ≤ 0 在区间 (0,1] 上恒成立， 所以函数 h(x) 在区间 (0,1] 上是减函数，且 h (0)=0 .     所以 h(x)<0 在区间 (0,1] 上恒成立，即 g′(x)<0 在区间 (0,1] 上恒成立， 所以函数 g(x) 在区间 (0,1] 上是减函数. 所以当 x=1 时， g(x)min=g(1)=e−1 .  所以实数 a 的取值范围是 (−∞,e−1] . 解法2：设 g(x)=f′(x)=ex−2ax ，则 g′(x)=ex−2a . 当 a ≤ 0 时， g′(x)>0 ，函数 g(x) 在区间 [0,1] 上是增函数. 当 x=0 时， g(x)min=1>0 ， 所以 g(x) ≥ 0 在区间 [0,1] 上恒成立. 所以函数 f(x) 在区间 [0 , 1] 上是增函数. 所以 f(x)min=f(0)=2 . 即 f(x)   ≥  2 对于任意的 x∈[0,1] 都成立. 当 a>0 时，令 g′(x)=0 ，即 ex=2a ，解得 x=ln2a . ①当 0<a ≤12 时， ln2a ≤0 ，则 g′(x) ≥ 0 .所以函数 g(x) 在区间 [0,1] 上是增函数. 当 x=0 时， g(x)min=1>0 ， 所以 g(x) ≥ 0 在区间 [0,1] 上恒成立. 所以函数 f(x) 在区间 [0,1] 上是增函数. 所以 f(x)min=f(0)=2 . 即 f(x)  ≥  2 对于任意的 x∈[0,1] 都成立.             ②当 12<a < e2 时， 0<ln2a < 1 . 当 x 变化时， g′(x) , g(x) 的变化情况如下表： x (0,ln2a) ln2a (ln2a,1) g′(x) - 0 + g(x) ↘ 极小值 ↗ 所以当 x=ln2a 时， g(x)min=eln2a−2aln2a=2a(1−ln2a) ≥0 . 所以 g(x) ≥ 0 在区间 [0,1] 上恒成立. 所以函数 f(x) 在区间 [0,1] 上是增函数.             所以 f(x)min=f(0)=2 . 即 f(x)  ≥ 2 对于任意的 x∈[0,1] 都成立.           ③当 a ≥ e2 时， ln2a ≥ 1 . 所以 g′(x)<0 在区间 [0,1] 上恒成立. 所以函数 g(x) 在区间 [0,1] 上是减函数.         因为 g(0)=1>0,g(1)=e−2a<0 ， 所以 ∃x0∈(0 , 1 ) ，使 g(x0)=0 ，即 f′(x0)=0 . 当 x 变化时， f′(x),f(x) 的变化情况如下表： x 0 (0,x0) x0 (x0,1) 1 f′(x)   + 0 −   f(x) 2 ↗ 极大值 ↘ e−a+1 当 f(1)=e−a+1 ≥2  ，即 a ≤e−1 时， f(x)  ≥ 2 对于任意 x∈[0,1] 都成立. 所以 e2≤a ≤ e−1 .                             综上所述，实数 a 的取值范围是 (−∞ , e−1] .

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