题目

已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数). （1） 判断函数f(x)的单调性与奇偶性； （2） 是否存在实数t ， 使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由. 答案： 解：∵f(x)＝ex－ (1e) x，且y＝ex是增函数，y＝－ (1e) x是增函数，∴f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数 解：由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立⇔t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立⇔ (t+12) 2≤ (x+12)min2 对一切x∈R恒成立⇔ (t+12) 2≤0⇔t＝－ 12 .即存在实数t＝－ 12 ，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立

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