题目

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E． （1） 求证：∠PCE＝∠PEC； （2） 若AB＝10，ED＝ ，sinA＝ ，求PC的长． 答案： 证明：∵PC是圆O的切线， ∴∠PCA＝∠B． ∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠A+∠B＝90°． ∵PD⊥AB， ∴∠A+∠AED＝90°． ∴∠AED＝∠B． ∵∠PEC＝∠AED， ∴∠PCE＝∠PEC． 解：如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F． ∵AB＝10，sinA＝ 35 ， ∴BC＝AB• 35 ＝6． ∴AC＝ AB2−BC2 ＝8． ∵DE＝ 32 ，sinA＝ 35 ， ∴AE＝ 52 ． ∴EC＝AC﹣AE＝8﹣ 52 ＝ 112 ． ∵PC＝PE，PF⊥EC， ∴EF＝ 12EC=114 ． ∵∠AED＝∠PEF，∠EDA＝∠EFP， ∴△AED∽△PEF． ∴ AEED=PEEF ， 5232=EP114 ． 解得：EP＝ 5512 ． ∴PC＝ 5512 ．

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