题目

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点． 答案：解：（Ⅰ）以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如直角坐标系，由于⊙O的方程为x2+y2=4，直线L的方程为x=4，∠PAB=30°，∴点P的坐标为（1，3），∴lAP：y=33（x+2），lBP：y=﹣3（x﹣2）．将x=4代入，得M（4，23），N（4，﹣23）．∴MN的中点坐标为（4，0），MN=43．∴以MN为直径的圆的方程为（x﹣4）2+y2=12．同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是 （x﹣4）2+y2=12．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），则 x02+y02=4 （y0≠0），∴y02=4﹣x02．∵直线AP：y=y0x0+2（x+2），直线BP：y=y0x0-2（x﹣2），将x=4代入，得 yM=6y0x0+2，yN=2y0x0-2．∴M（4，6y0x0+2）、N（4，2y0x0-2），MN=|6y0x0+2﹣2y0x0-2|=4x0-4y0，故MN的中点坐标为（4，﹣4x0-4y0 ）．以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 24x0-42y02-16x0-12y02=4y0•12-3x02=43y0•4-x02=43y0·y0=43为定值．再根据以MN为直径的圆O′的半径为23，AB的中点O到直线MN的距离等于4，故O′为线段MN的中点，可得⊙O′必过⊙O 内定点（4﹣23，0）．

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