题目

【归纳猜想】在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形中，由勾股定理，得 ， ， 因为 ， ， 所以 ． 小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．【探究发现】求证：平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和，请结合图2，写出已知、求证、并写出证明过程． 答案：解：已知平行四边形ABCD，求证∶平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．证明：如图3，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，则∠AEB=∠DFC=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF，∴△ABE≌△DCF，∴AE=DF，BE=CF．在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理得，AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．又∵AE2+BE2=AB2，故AC2+BD2=2（AB2+BC2）．

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