题目

已知函数 满足下列三个条件中的两个： ①函数 的图象与 轴的任意两个相邻交点之间的距离为 ﹔ ②直线 是函数 图象的一条对称轴； ③ 且 在区间 上单调． （1） 请指出这两个条件，说明理由，并求函数 的解析式； （2） 若 ，求函数 的值域． 答案： 选择 ①② ， 因为函数 f(x) 的图象与 x 轴的任意两个相邻交点之间的距离为 π2 ， 所以最小正周期 T=π=2πω ，解得 ω=2 ． 把 x=π6 代入 f(x)=sin(2x+φ)， 得 sin(π3+φ)=±1 ，则 π3+φ=π2+kπ，k∈Z ， 解得 φ=π6+kπ，k∈Z ，因为 |φ|<π2 ，所以 φ=π6 所以 f(x)=sin(2x+π6) ， 选择 ①③ ， 因为函数 f(x) 的图象与 x 轴的任意两个相邻交点之间的距离为 π2 ， 所以最小正周期 T=π=2πω ，解得 ω=2 ． 把 x=π4 代入 f(x)=sin(2x+φ) ，得 sin(π2+φ)=0 ，则 π2+φ=kπ，k∈Z ， 解得 φ=−π2+kπ，k∈Z ，因为 |φ|<π2 ，所以 φ 无解．函数 f(x) 不能同时满足 ①③ 两个条件； 选择②③， 由②③两个条件可得 T4=π4−π6=π12 ，即 T=π3 ，所以 ω=6 ． 把 x=π6 代入 f(x)=sin(6x+φ) ，得 sin(π+φ)=±1 ，则 φ=π2+kπ，k∈Z ， 因为 |φ|<π2 ，所以 φ 无解．函数 f(x) 不能同时满足②③两个条件． 综上，函数 f(x) 只能同时满足条件①②，且 f(x)=sin(2x+π6) ． 因为 x∈[−π6，π3] ，所以 2x+π6∈[−π6，5π6] ， 所以 −12≤sin(2x+π6)≤1 ，即函数 f(x) 的值域为 [−12，1] ．

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