题目

已知在数列 中， ， ，且当 时， ． （Ⅰ）证明： 是等比数列； （Ⅱ）求数列 的通项公式． 答案：（Ⅰ）当 n≥2 时，由 an+1=4(an−an−1) 得 an+1−2an=2(an−2an−1) ， 又因为 a2−2a1=1 ， 所以 {an+1−2an} 是以1为首项，2为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an+1−2an=2n−1 ， 等式两边同时除以 2n 得 an+12n−an2n−1=12 ， 又因为 a120=1 ， 所以 {an2n−1} 是以1为首项， 12 为公差的等差数列， 所以 an2n−1=1+n−12=n+12 ， 所以 an=(n+1)×2n−2 ．

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