题目

如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，BC=7cm，AB= cm。点P从点B出发沿BC方向向点C运动，当点P到点C时，停止运动 （1） 如图2，过点P作PQ⊥BC，PQ交AB于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，若点R恰好在边AC上，且满足QR=2PQ.求BP得值. （2） 以点P为圆心，BP为半径作圆. 如图3，当⊙P与边AC相切于点E时，求BP的值; （3） 随着BP的变化，⊙P与△ABC三边的公共点的个数也在变化，请直接写出公共点个数与对应的BP的取值范围. 答案： 解：过点A做AD⊥BC，交QR于点E ∵AD⊥BC，∠ABC=45°， ∴AD=BD= AB·cos45∘=32×22=3 在矩形PQRS中RQ∥BC ∴△AQR∽△ABC ∴ QRBC=AEAD 设BP=PQ=x，则QR=2x，AE=3-x ∴ 2x7=3−x3 解得：x= 2113 ∴BP= 2113 解：①过点A做AD⊥BC，连接PE 由（1）可知，BD=AD=3 ∴CD=BC-BD=7-3=4 ∴在Rt△ADC中， AC=32+42=5 ∵⊙P与边AC相切于点E ∴∠ADC=∠PEC=90° 又∵∠C=∠C ∴△ADC∽△PEC ∴ PEPC=ADAC 设BP=PE=x ∴ x7−x=35 解得：x= 218 ∴BP= 218 由AB= 32 ，BC=7，(2)中BP= 218 可知 当 0<BP<218 时，⊙P与AB和BC均有2个公共点，与AC无公共点； 当 BP=218 时，⊙P与AB和BC均有2个公共点，与AC有1个公共点； 当 218<BP≤3 时，⊙P与AB、BC和AC均有2个公共点； 当 3<BP≤72 时，⊙P与AB和AC有1个公共点，与BC有2个公共点； 当 72<BP≤7 时，⊙P与AB和BC有1个公共点，与AC无个公共点．

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