题目

在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B. （1） 求抛物线的解析式； （2） 如图1，连接 ，在抛物线上是否存在点P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 如图2，连接 ，交y轴于点E，点M是线段 上的动点（不与点A，点D重合），将 沿 所在直线翻折，得到 ，当 与 重叠部分的面积是 面积的 时，请直接写出线段 的长. 答案： 解：∵抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0) 经过点A（-2，-4）和点C（2，0）， 则 {−4=4a−2b+20=4a+2b+2 ，解得： {a=−1b=1 ， ∴抛物线的解析式为 y=−x2+x+2 解：存在，理由是： 在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F， 在 y=−x2+x+2 中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B坐标为（-1，0）， ∴点E坐标为（1，0）， 可知：点B和点E关于y轴对称， ∴∠BDO=∠EDO，即∠BDE=2∠BDO， ∵D（0，2）， ∴DE= 22+12=5 =BD， 在△BDE中，有 12 ×BE×OD= 12 ×BD×EF， 即2×2= 5 ×EF，解得：EF= 455 ， ∴DF= DE2−EF2 = 355 ， ∴tan∠BDE= EFDF = 455÷355 = 43 ， 若∠PBC=2∠BDO， 则∠PBC=∠BDE， ∵BD=DE= 5 ，BE=2， 则BD2+DE2＞BE2， ∴∠BDE为锐角， 当点P在第三象限时， ∠PBC为钝角，不符合； 当点P在x轴上方时， ∵∠PBC=∠BDE，设点P坐标为（c， −c2+c+2 ）， 过点P作x轴的垂线，垂足为G， 则BG=c+1，PG= −c2+c+2 ， ∴tan∠PBC= PGBG = −c2+c+2c+1 = 43 ， 解得：c= 23 ， ∴ −c2+c+2 = 209 ， ∴点P的坐标为（ 23 ， 209 ）； 当点P在第四象限时， 同理可得：PG= c2−c−2 ，BG=c+1， tan∠PBC= PGBG = c2−c−2c+1 = 43 ， 解得：c= 103 ， ∴ −c2+c+2 = −529 ， ∴点P的坐标为（ 103 ， −529 ）， 综上：点P的坐标为（ 23 ， 209 ）或（ 103 ， −529 ）； 解：设EF与AD交于点N， ∵A（-2，-4），D（0，2），设直线AD表达式为y=mx+n， 则 {−4=−2m+n2=n ，解得： {m=3n=2 ， ∴直线AD表达式为y=3x+2， 设点M的坐标为（s，3s+2）， ∵A（-2，-4），C（2，0），设直线AC表达式为y=m1x+n1， 则 {−4=−2m1+n10=2m1+n1 ，解得： {m1=1n1=−2 ， ∴直线AC表达式为y=x-2， 令x=0，则y=-2， ∴点E坐标为（0，-2）， 可得：点E是线段AC中点， ∴△AME和△CME的面积相等， 由于折叠， ∴△CME≌△FME，即S△CME=S△FME， 由题意可得： 当点F在直线AC上方时， ∴S△MNE= 14 S△AMC= 12 S△AME= 12 S△FME， 即S△MNE= S△ANE= S△MNF， ∴MN=AN，FN=NE， ∴四边形FMEA为平行四边形， ∴CM=FM=AE= 12 AC= 12×42+42 = 22 ， ∵M（s，3s+2）， ∴ (s−2)2+(3s+2)2=22 ， 解得：s= −45 或0（舍）， ∴M（ −45 ， −25 ）， ∴AM= (−45+2)2+(−25+4)2 = 6105 ， 当点F在直线AC下方时，如图， 同理可得：四边形AFEM为平行四边形， ∴AM=EF， 由于折叠可得：CE=EF， ∴AM=EF=CE= 22 ， 综上：AM的长度为 6105 或 22

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