题目

设正有理数a1是 的一个近似值，令a2=1+ ，求证： （1） 介于a1与a2之间； （2） a2比a1更接近于 ． 答案： 证明：a2﹣ 3 =1+ 21+a1 ﹣ 3 = (1−3)(a1−3)1+a1 ，∵若a1＞ 3 ，∴a1﹣ 3 ＞0，而1﹣ 3 ＜0，∴a2＜ 3∵若a1＜ 3 ，∴a1﹣ 3 ＜0，而1﹣ 3 ＜0，∴a2＞ 3 ，故 3 介于a1与a2之间； 证明：|a2﹣ 3 |﹣|a1﹣ 3 |= (1−3)(a1−3)1+a1 ﹣|a1﹣ 3 |=|a1﹣ 3 |× 3−2−a11+a1 ，∵a1＞0， 3 ﹣2＜0，|a1﹣ 3 |＞0，∴|a2﹣ 3 |﹣|a1﹣ 3 |＜0∴|a2﹣ 3 |＜|a1﹣ 3 |∴a2比a1更接近于 3

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