题目

已知椭圆 右焦点 ， 是分别为椭圆 的左､右顶点， 为椭圆的上顶点，三角形 的面积 . （1） 求椭圆 的方程； （2） 直线 与椭圆交于不同的两点 ，点 ，若 ( 是坐标原点)，求 的值. 答案： 解：由题： c=1 ， A(−a,0)，B(a,0) ，设 P(0,b) ， 则 ab=2 ，又 a2=b2+c2 ， 代入可得 a2=2，b2=1 ， 所以椭圆方程为 x22+y2=1 解：联立方程组 {y=x+m，x22+y2=1， 得 3x2+4mx+2m2−2=0 ，设 M(x1,y1)，N(x2,y2) ， 所以 Δ=16m2−4×3×(2m2−2)=24−8m2>0 ，解得 −3<m<3 ； 则 {x1+x2=−4m3，x1x2=2m2−23， 由 ∠MQO=∠NQO ，可得 kMQ+kNQ=0 ， 即 y1x1−2+y2x2−2=x1+mx1−2+x2+mx2−2=2x1x2+(m−2)(x1+x2)−4m(x1−2)(x2−2)=0 ， 即 2x1x2+(m−2)(x1+x2)−4m=0 ，解得 m=−1 . m=−1 满足 −3<m<3 . 故 m=−1

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