题目

如图，在菱形 中， 是对角线 上一点， 是线段 延长线上一点，且 连接 . （1） 发现问题 如图①，若 是线段 的中点.连接 其他条件不变，填空：线段 与 的数量关系是；              （2） 探究问题 如图②，若 是线段 上任意一点，连接 其他条件不变，猜想线段 与 的数量关系是什么?请证明你的猜想； （3） 解决问题 如图③，若 是线段 延长线上任意一点，其他条件不变，且 ，请直接写出 的长度. 答案： 【1】BE=EF 解： BE=EF ， 证明：如下图，过点 E 作 EG//BC 交 AB 于点G ∵四边形为 ABCD 菱形， ∠ABC=60° ∴ AB=BC ， ∠BCD=120° ， AB//CD ， △ABC 与 △ACD 都是等边三角形 ∵AC是菱形 ABCD 的对角线 ∴ ∠ACD=12∠BCD=60° ∴ ∠DCF=∠ABC=60° ， AB=AC ∴ ∠ECF=120° 又∵ EG//BC ∴ ∠AGE=∠ABC=60° 又∵ ∠BAC=60° ∴ △AGE 是等边三角形 ∴ AG=AE=GE ∴ BG=CE ， ∠BGE=120°=∠ECF 又∵ CF=AE ∴ CE=CF 在 △BGE 和 △CEF 中 {BG=EC∠BGE=∠ECFGE=CF ∴ △BGE≌△ECF(SAS) ∴ BE=EF ； 解： AF=7 证明：如下图，连接EF，过点E作 EG//BC 交AB延长线于点G ∵四边形 ABCD 是菱形， ∠ABC=60° ∴AB=BC， △ABC 是等边三角形 ∴ ∠ACB=60° ∴ ∠ECF=60° 又∵ EG//BC ∴ ∠AGE=∠ABC=60° 又∵ ∠BAC=60° ∴ △AGE 是等边三角形 ∴AG=AE=GE ∴BG=CE， ∠BGE=∠ECF 又∵AE=CF ∴GE=CF 在 △BGE 和 △CEF 中 {BG=CE∠BGE=∠ECFGE=CF ∴ △BGE≌△ECF(SAS) ∴BE=EF ∵ ∠ABC=60° ， ∠EBC=30° ∴ ∠ABE=∠ABC+∠EBC=60°+30°=90° ∵ △ABC 是等边三角形 ∴ ∠BAC=60° ∴ ∠BEA=180°−∠ABE−∠BAC=180°−90°−60°=30° ∵ AB=1 ∴ AE=2AB=2×1=2 ， BE=ABtan30°=133=3 ∵BE=EF ∴ EF=3 ， ∠EBC=∠EFB=30° ∴ ∠BEF=180°−30°−30°=120° ∴ ∠AEF=∠BEF−∠BEA=120°−30°=90° ∴ AF=AE2+EF2=22+(3)2=7 .

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