题目

一个n位数（ ，n为正整数），我们把最高位上的数移到它的右侧，得到一个新数，再将新数的最高位上的数移到它的右侧，又得到一个新数，…，依次类推，我们把这样操作得到的新数都叫做原数的“谦虚数”.比如56有一个“谦虚数”是65；156有两个“谦虚数”分别是561、615；2834有三个“谦虚数”分别是8342、3428、4283. （1） 请写出四位数5832的三个“谦虚数”. （2） 一个两位数，个位上的数与十位上的数和为9，如果这个两位数比它的“谦虚数”少9，求这个两位数. （3） 一个三位数，百位上的数为a，十位上的数为1，个位上的数为b，如果这个三位数与它的两个“谦虚数”的和能被5整除，求 的值. 答案： 解：根据“谦虚数”的定义描述，首先将5832最高位上的数移到它的右侧得到一个“谦虚数”8325， 再将8325最高位上的数移到它的右侧得到一个“谦虚数”3258， 再将3258最高位上的数移到它的右侧得到一个“谦虚数”2583； 解：设该数个位数为a，十位数为b， 由已知条件可得： {a+b=9(10a+b)−(10b+a)=9 ， 解得： a=5 ， b=4 ， ∴这个两位数是45； 解：由已知条件可知，这个三位数可以表示为 100a+10+b ， 则它的两个“谦虚数”分别为： 100+10b+a 、 100b+10a+1 ， ∴这个三位数与它的两个“谦虚数”的和为， (100a+10+b)+(100+10b+a)+(100b+10a+1) ， =111a+111b+111 ， =110a+a5+110b+b5+110+15 ， =22a+22b+22+a+b+15 ， ∵这个三位数与它的两个“谦虚数”的和能被5整除， ∴ a+b+1 能被5整除， ∵ 1≤a≤9 ， 1≤b≤9 ， ∴ 2≤a+b≤18 ， ∴ a+b+1 可能取值为：5或10或15， ∴ a+b 的值为4或9或14.

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