题目

如图(a)所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场（平行于纸面），在同一水平线上的两位置，以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电量为+q的a水平向右，不带电的b竖直向上．b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴p．忽略空气阻力，重力加速度为g．求 （1） 油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离； （2） 匀强电场的场强及油滴a、b结合为p后瞬间的速度； （3） 若油滴p形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为 时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面的周期性变化的匀强磁场，磁场变化规律如图(b)所示，磁场变化周期为T0（垂直纸面向外为正），已知P始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积．（忽略磁场突变的影响） 答案： 解：设油滴的喷出速率为 v0 ，则对油滴b做竖直上抛运动，有 0=v02−2gh             解得 v0=2gh 0=v0−gt0             解得 t0=2hg 对油滴a的水平运动，有 x0=v0t0          解得 x0=2h 解：两油滴结合之前，油滴a做类平抛运动，设加速度为 a ，有 qE−mg=ma ， h=12at02 ，解得 a=g ， E=2mgq 设油滴的喷出速率为 v0 ，结合前瞬间油滴a速度大小为 va ，方向向右上与水平方向夹 θ 角，则 v0=vacosθ ， v0tanθ=at0 ，解得 va=2gh ， θ=45° 两油滴的结束过程动量守恒，有： mv1=2mvp ，联立各式，解得： vp=gh ，方向向右上，与水平方向夹 45° 角 解：因 qE=2mg ，油滴p在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 r ，周期为 T ，则 由 qvp8πmqT0=2mvp2r     得 r=T0gh4π ，由 T=2πrvp    得 T=T02 即油滴p在磁场中的运动轨迹是两个外切圆组成的“8”字形． 最小矩形的两条边长分别为 2r 、 4r （轨迹如图所示）．最小矩形的面积为 smin=2r×4r=ghT022π2

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