题目

如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”. （1） 若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=°； （2） 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由. （3） 如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长. 答案： 【1】15 解：如图①中， 在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD， ∴∠B+2∠BAD=90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， ∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B+∠BAE=90°， ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°， ∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°， ∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB， ∴CE= 165 ， ∴BE=5﹣ 165 = 95 . 解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF. ∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD， ∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°， ∴A、B、F共线， ∴∠A+∠ACF=90° ∴2∠ACB+∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F， ∴△FCB∽△FAC， ∴CF2=FB•FA，设FB=x， 则有：x（x+7）=122， ∴x=9或﹣16（舍去）， ∴AF=7+9=16， 在Rt△ACF中，AC= AF2+CF2=162+122=20

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