题目

已知函数 ． 当m＝1时，曲线在点处的切线与直线x－y＋1＝0垂直． （1） 若的最小值是1，求m的值； （2） 若 ， 是函数图象上任意两点，设直线AB的斜率为k．证明：方程在上有唯一实数根． 答案： 解：由题知，f(x)的定义域为R，f′(x)=memx+n，当m＝1时，f′(x)=ex+n，∵当m＝1时，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线x－y＋1＝0垂直∴n＋1＝－1，∴n＝－2，∴f(x)=emx−2x，f′(x)=memx−2当m<0时，f′(x)<0，f(x)在(−∞，+∞)上单调递减又f(0)=1，∴当x>0时，f(x)<1，不合题意．当m>0时，令f′(x)=0，解得x=1mln2m，当x>1mln2m时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x<1mln2m时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)min=f(1mln2m)=1又f(0)=1，当x≠0时，f(x)>1，∴1mln2m=0，∴m＝2 证明：k=f(x2)−f(x1)x2−x1=emx2−emx1x2−x1−2令g(x)=f′(x)−k=memx−emx2−emx1x2−x1，则g′(x)=m2emx>0∴g(x)单调递增又g(x1)=memx1−emx2−emx1x2−x1=−emx1x2−x1[em(x2−x1)−m(x2−x1)−1]，g(x2)=memx2−emx2−emx1x2−x1=emx2x2−x1[em(x1−x2)−m(x1−x2)−1]，令h(x)=ex−x−1，则h′(x)=ex−1令h′(x)=0，解得x＝0，∴当x>0时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当x<0时，h′(x)<0，h(x)单调递减，∴h(x)min=h(0)=0，∴当x≠0时，ex−x−1>0∵m≠0，x1<x2∴m(x2−x1)≠0，m(x1−x2)≠0∴em(x2−x1)−m(x2−x1)−1>0，em(x1−x2)−m(x1−x2)−1>0又emx1x2−x1>0，emx2x2−x1>0∴g(x1)<0，g(x2)>0∴g(x)在(x1，x2)上有唯一零点∴方程f′(x)=k在(x1，x2)上有唯一实数根．

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