题目

如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 相交于点 ， ，已知 ， ， . （1） 求证： 平面 ； （2） 设棱 的中点为 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 答案： 证明：∵ AD=3 ， BD=33 ， ∠ADB=30° ∴ AB=9+27−2×3×33⋅32=3 ，则 AD=AB ， ∴在 △ADN 中， DN=2NB=23 ， AN=9+12−2×3×23×32=3 ， ∴ AN2+AD2=DN2 ∴ ∠DAN=90° ，∴ AC⊥AD ，∵ PA⊥ 平面 ABCD ∴ PA⊥AC ， PA∩AD=A ，且 PA,AD 都在平面 PAD ， ∴ AC⊥ 平面 PAD 解：以 AC,AD,AP 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系， ∴ P(0,0,3) ， A(0,0,0) ， B(332,−32,0) ， D(0,3,0) ， M(0,32,32) ， C(3,0,0) ∴ PA→=(0,0,−3) ， AB→=(332,−32,0) ， AM→=(0,32,32) ， AC→=(3,0,0) 设平面 PAB 与平面 MAC 法向量分别为 n1→=(x1,y1,z1) ， n2→=(x2,y2,z2) 二面角为 θ ∴ n1⇀⋅PA⇀=0n1⇀⋅AB⇀=0⇒{−3z1=0332x1−32y1=0⇒{x1=1y1=3z1=0 ， n1→=(1,3,0) n2⇀⋅AM⇀=0n2⇀⋅AC⇀=0⇒{32y2+32z2=03x2=0⇒n2⇀=(0,1,−1) ∴ |cosθ|=32⋅2=64 ，则 sinθ=104 .

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