题目

如图所示，拋物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1.点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC、BC、DC、DB. （1） 求抛物线的函数表达式； （2） 当 时，求m的值； （3） 在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 由题意得： {−b2a=14a−2b+c=0c=6 ，解得： {a=−34b=32c=6 ， ∴抛物线的函数表达式为： y=−34x2+32x+6 ； 如图1：过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F， ∵点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，6）， ∴OA＝2，OC＝6， ∴S△AOC＝ 12 OA•OC＝ 12 ×2×6＝6， ∴S△BCD＝ 34 S△AOC＝ 34 ×6＝ 92 ， 当y＝0时， −34x2+32x+6=0 ， 解得：x1＝-2，x2＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n， 则 {0=4k+n6=n ，解得： {k=−32n=6 ， ∴直线BC的函数表达式为： y=−32x+6 ， ∵设点D的横坐标为m（1＜m＜4）， ∴点D的坐标为：（m， −34m2+32m+6 ）， 点G的坐标为：（m， −32m+6 ）， ∴DG＝ −34m2+32m+6−(−32m+6)=−34m2+3m ，CF＝m，BE＝4﹣m， ∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝12DG⋅CF+12DG⋅BE=12DG(CF+BE)=12(−34m2+3m)(m+4−m)=−32m2+6m ∴ −32m2+6m=92 ， 解得：m1＝1（不合题意舍去），m2＝3， ∴m的值为3； 由（2）得：m＝3， −34m2+32m+6=−34×32+32×3+6=154 ， ∴点D的坐标为：（3， 154 ）， 分三种情况讨论： ①当DB为对角线时，如图2所示： ∵四边形BNDM是平行四边形， ∴DN∥BM， ∴DN∥x轴， ∴点D与点N关于直线x＝1对称， ∴N（-1， 154 ）， ∴DN＝3-（-1）＝4， ∴BM＝4， ∵B（4，0）， ∴M（8，0）； ②当DM为对角线时，如图3所示： 由①得：N（-1， 154 ），DN＝4， ∵四边形BNDM是平行四边形， ∴DN＝BM＝4， ∵B（4，0）， ∴M（0，0）； ③当DN为对角线时， ∵四边形BNDM是平行四边形， ∴DM＝BN，DM∥BN， ∴∠DMB＝∠MBN， ∴点D与点N的纵坐标相等， ∵点D（3， 154 ）， ∴点N的纵坐标为： −154 ， 将y＝ −154 代入 y=−34x2+32x+6 中， 得： −34x2+32x+6=−154 ， 解得：x1＝1+ 14 ，x2＝1﹣ 14 ， 当x＝1+ 14 时，如图4所示： 则N（1+ 14 ， −154 ）， 分别过点D、N作x轴的垂线，垂足分别为E、Q， 在Rt△DEM和Rt△NQB中， {DM=BNDE=NQ ， ∴Rt△DEM≌Rt△NQB（HL）， ∴BQ＝EM， ∵BQ＝ 1+14−4=14−3 ， ∴EM＝ 14−3 ， ∵E（3，0）， ∴M（ 14 ，0）； 当x＝ 1−14 时，如图5所示： 则N (1−14,−154) 同理得点M（ −14,0 ）； 综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（ 14 ，0）或（ −14 ，0）.

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