题目

在平面直角坐标系xOy中，将点P沿着y轴翻折，得到的对应点再沿着直线l翻折得到点P1 ， 则P1称为点P的“l变换点”． （1） 已知：点P（1，0），直线l：x＝2，求点P的“l变换点”的坐标； （2） 若点Q和它的“l变换点”Q1的坐标分别为（2，1）和（3，2），求直线l的解析式； （3） 如图，⊙O的半径为2． ①若⊙O上存在点M ， 点M的“l变换点”M1在射线 x（x≥0）上，直线l：x＝b ， 求b的取值范围； ②将⊙O在x轴上移动得到⊙E ， 若⊙E上存在点N ， 使得点N的“l变换点”N1在y轴上，且直线l的解析式为y＝ x+1，求E点横坐标的取值范围． 答案： 解：如图1，点P（1，0）关于y轴的对称点（﹣1，0），再关于直线x＝2的对称点P1（5，0）； 解：点Q(2，1)关于y轴的对称点(﹣2，1)， 设过点(﹣2，1)和(3，2)的直线的解析式为y=kx+b， {−2k+b=13k+b=2 ， 解得 k=﹣ 15 ，b= 75 ， ∴y＝﹣ 15 x+ 75 ， ∵点(﹣2，1)和(3，2)关于直线l对称， ∴直线l过点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点且与直线y＝ 15 x+ 75 垂直， ∵点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点为( 12 ， 32 )， ∴设直线l的解析式为y＝﹣5x+n， ∴ 32 ＝﹣5× 12 +n， 解得：n＝4， ∴直线l的解析式为：y＝﹣5x+4； 解：①如图4中， 由题意b＝ 12 M1M′，由此可知，当M1M′的值最大时，可得b的最大值， ∵直线OM′的解析式为y＝ 33 x， ∴tan∠M′OD＝ 33 ， ∴∠MM′O＝∠M′OD＝30°， ∵OM＝2，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为4， ∴b的最大值为2， 如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣1， 综上所述，满足条件的b取值范围为﹣1≤b≤2； ②设E（t，0），如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y＝ 3 x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件． 连接E1E′交直线y＝ 3 x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y＝﹣ 33 x﹣ 33t ， 由 {y=3x+1y=−33x−33t ，解得 {x=−t−34y=−3t+14 ， ∴K( −t−34 ， −3t+14 )， ∵KE1＝KE′， ∴E′( t−34 ， −3t+14 )， 当⊙E′与y轴相切时，| t−32 |＝2，解得t＝ 3 ﹣4或 3 +4， 综上所述，满足条件的t的取值范围为 3 ﹣4≤t≤ 3 +4．

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