题目

已知数列{an}的各项均为正数，前n和为Sn ， 且Sn= （n∈N*）． （1） 求证：数列{an}是等差数列； （2） 设bn=an•3n ， 求数列{bn}的前n项的和Tn ． 答案： 解：证明：当n≥2时， Sn=(an+2)(an−1)2(n∈N∗) ．…①Sn−1=(an−1+2)(an−1−1)2 …②①﹣②得： an=an2+an−an−12−an−12 ，整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=（an+an﹣1）．∵数列{an}的各项均为正数，即an+an﹣1≠0，∴an﹣an﹣1=1（n≥2）．当n=1时， a1=S1=(a1+2)(a1−1)2 ，得 a12−a1−2=0 ，由a1＞0，得a1=2，…（4分）∴数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列． 解：由（1）得an=2+（n﹣1）×1=n+1∴ bn=an⋅3n=(n+1)⋅3nTn=2×31+3×32+4×33+⋯+n×3n−1+(n+1)×3n …（1）3Tn=2×32+3×33+4×34 …+n×3n+（n+1）×3n+1…（2）（1）﹣（2）得 −2Tn=6+32+33+⋯+3n−(n+1)×3n+1∴ −2Tn=6+32−3n×31−3−(n+1)×3n+1=3n+1−32−(n+1)×3n+1∴ Tn=14(2n+1)3n+1−34

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