题目

已知函数 . （1） 当 时，求 的最小值； （2） 若对任意 恒有不等式 成立. ①求实数 的值； ②证明： . 答案： 解：法一： f(x) 的定义域为 (0,+∞) ， 由题意 f′(x)=(x+1)(ex−ax)=(x+1)(xex−ax) ， 令 xex−a=0 ，得 a=xex ， 令 g(x)=xex ， g′(x)=ex+xex=(x+1)ex>0 ， 所以 g(x) 在 x∈(0,+∞) 上为增函数，且 g(0)=0 ， 所以 a=xex 有唯一实根， 即 f′(x)=0 有唯一实根，设为 x0 ， 即 a=x0ex0 ， 所以 f(x) 在 (0,x0) 上为减函数，在 (x0,+∞) 上为增函数， 所以 f(x)min=f(x0)=x0ex0−a(lnx0+x0)=a−alna . 法二： f(x)=xex−a(lnx+x)=elnx+x−a(lnx+x)(x>0) . 设 t=lnx+x ，则 t∈R . 记 φ(t)=et−at(t∈R) .故 f(x) 最小值即为 φ(t) 最小值. φ′(t)=et−a(a>0) ， 当 t=(−∞,lna) 时， φ′(t)<0 ， φ(t) 单调递减， 当 t∈(lna,+∞) 时， φ′(t)>0 ， φ(t) 单调递增， 所以 f(x)min=φ(lna)=elna−alna=a−alna ， 所以 f(x) 的最小值为 a−alna . 解：①当 a≤0 时， f(x) 单调递增， f(x) 值域为 R ，不适合题意， 当 a>0 时，由（1）可知 fmin(x)=a−alna ， 设 φ(a)=a−alna(a>0) ， 所以 φ′(a)=−lna ， 当 a∈(0,1) 时， φ′(a)>0 ， φ(a) 单调递增， 当 a∈(1,+∞) 时， φ′(a)<0 ， φ(a) 单调递减， 所以 φ(a)max=φ(1)=1 ，即 a−alna≤1 . 由已知， f(x)≥1 恒成立，所以 a−alna≥1 ， 所以 a−alna=1 ， 所以 a=1 . ②由①可知 xex−lnx−x≥1 ，因此只需证： x2+x>2lnx+2sinx ， 又因为 lnx≤x−1 ，只需证 x2+x>2x−2+2sinx ，即 x2−x+2>2sinx ， 当 x>1 时， x2−x+2>2≥2sinx 结论成立， 当 x∈(0,1] 时，设 g(x)=x2−x+2−2sinx ， g′(x)=2x−1−2cosx ， 当 x∈(0,1] 时， g′(x) 显然单调递增. g′(x)≤g′(1)=1−2cos1<0 ，故 g(x) 单调递减， g(x)≥g(1)=2−2sin1>0 ， 即 x2−x+2>2sinx . 综上结论成立.

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