题目

如图所示，光滑水平平台AB与竖直光滑半圆轨道AC平滑连接，C点切线水平，长为L=4m的粗糙水平传送带BD与平台无缝对接。质量为m1=0.3kg和m2=1kg的两个小物块中间有一被压缩的轻质弹簧，用细绳将它们连接。已知传送带以v0=1.5m/s的速度向左匀速运动，小物体与传送带间动摩擦因数为μ=0.15。某一时刻剪断细绳，小物块m1向左以v1=10m/s的速度向左运动，小物块m2以v2=3m/s的速度向右运动。g取10m/s2。求： （1） 从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的时间； （2） 从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的过程中，为了维持传送带匀速运动，电动机需对传送带多提供的电能E； （3） 为了让小物块m1从C点水平飞出后落至AB平面的水平位移最大，求竖直光滑半圆轨道AC的半径R和小物块m1平抛的最大水平位移x的大小。 答案： 解：m2的加速度 a=μg=0.15×10m/s2=1.5m/s2 匀减速到零的时间 t1=v2a=2s 发生的位移 x=12at2=12×1.5×22m=3m<4m 则m2先向右减速至速度为零，向左加速至速度为 v0=1.5m/s 所用时间为 t2=v0μg=1s 此时位移 x2=12at22=0.75m 则此后向左匀速运动的时间为 t3=x1−x2v0=1.5s 故从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的时间为 t=t1+t2+t3=4.5s 解：该过程皮带运动的距离为 x带=v0(t1+t2)=4.5m 故为了维持传送带匀速运动，电动机需对传送带多提供的电能为 E=μm2gx带=0.15×1×10×4.5J=6.75J 解：设竖直光滑轨道AC的半径为R时小物体 m1 平抛的水平位移最大为x，从A到C由动能定理得 −m1g2R=12m1vc2−12m1v12 由平抛运动的规律有 x=vct 2R=12gt2 联立整理得 x=4R(10−4R) 根据数学知识可知，当 4R=10−4R ，即 R=1.25m 时水平位移最大，最大值为 x=4R(10−4R)=4×1.25×(10−4×1.25)m=5m

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