题目

已知圆 ： ，点 ，C为圆 上任意一点，点P在直线 C上，且满足 ，点P的轨迹为曲线E． （1） 求曲线E的方程； （2） 若直线l： 不与坐标轴重合 与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为 、 ，对任意的斜率k，若存在实数 ，使得 ，求实数 的取值范围． 答案： 解：由 |CP|=|PQ2| ，可得 |PQ2|+|PO|=26〉4 ， 则点P的轨迹是以 O1O2 为焦点的椭圆， 则 a=6 ， c=2 ， ∴b=a2−c2=2 ， 则曲线E的方程为 x26+y22=1 解：设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ， 则 {x26+y22=1y=kx+m  ，消y可得 (1+3k2)x2+6kmx+3m2−6=0 ， ∴△=36k2m2+4(1+3k2)(3m2−6)=12(2−m2+6k2)>0 ∴x1+x2=−6km1+3k2 ， x1x2=3m2−63k2+1 ， ∵λ(k1+k2)+k=λ(y1x1+y2x2)+k=λ(kx1+mx1+kx2+mx2)+k=λ[2k+m(x1+x2)x1x2]+k=0 当 k=0 时， λ∈R ， 当 k≠0 时， λ=3m2−612=m2−24 ， 由于 △=12(2−m2+6k2)>0 对任意k恒成立， 则 m2<2+6k2 ， ∴0≤m2<2 ， ∴−12≤λ<0 ， 综上所述 λ∈[−12,0) ．

查看本题答案和解析