题目

如图，已知△ABC中，BD、CE是高， F是BC中点，连接DE、EF和DF， （1） 求证：△DEF是等腰三角形． （2） 若∠A＝45°，试判断△DEF的形状，并说明理由． （3） 若∠A：∠DFE＝5：2，BC=4，求△DEF的面积． 答案： 证明：∵BD、CE是高，F是BC中点，∴EF= 12 BC=DF，∴△DEF是等腰三角形 解：△DEF是等腰直角三角形；理由：∵∠A＝45°，∴∠EBF+∠DCF=180°-45°=135°，∵EF= 12 BC=DF，∴∠EBF=∠FEB，同理，∠DCF=∠FDC，∴∠FEB+∠FDC=135°，∴∠BFE+∠CFD=180°+180°-135°-135°=90°，∴∠DFE=180°-90°=90°，∴△DEF是等腰直角三角形． 解：作EG⊥DF于G，设∠A＝5 x ，∠DFE＝2 x ，∵EF=BF，DF=FC，∴∠FBE=∠BEF，∠FCD=∠FDC，∴∠BFE+∠CFD=180°－2∠FBE+180°－2∠FCD=2(180°－∠FBE－∠FCD)=2∠A= 10x ，∵ 10x+2x=180° ，∴∠DFE＝2 x=30° ，∵BC=4，∴DF=EF=2，∴EG=1，∴△DEF面积1．

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