题目

如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部 宽8米，顶点 距离地面6米． （1） 以拱门顶点 为原点，对称轴为 轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程； （2） 节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，如图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值．（灯笼看作点 ） 答案： 解：以抛物线的顶点 O 为坐标原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图． 则 A(−4，−6) ， B(4，−6) ， 设抛物线的标准方程为 x2=−2py （ p>0 ）． 因为 B 点在抛物线上， 所以 42=−2p(−6) ，解得 p=43 ， 所以抛物线的方程为 x2=−83y ． 设 P(0，−2) 为灯笼所在点， Q(x，y) 为抛物线上设置牵引绳的点， 则 |PQ|=x2+(y+2)2 ， |PQ|=y2+43y+4 （ −6≤y≤0 ）， 当 y=−23 时， |PQ| 的最小值为 423 ，即一条牵引绳长度的最小值为 423 ．

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