题目

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以 的概率向左滚下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以 的概率向右滚下． （1） 若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率； （2） 小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为ξ元．其中ξ＝|20﹣5X|． ①求X的分布列： ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 答案： 解：记小球落入记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M， 小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右， ∴这个小球落入第7层第6个空隙处的概率P（M） =C61(12)(12)5=332 解：①由已知得X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7， P（X＝1）＝P（X＝7） =C60(12)6=164 ， P（X＝2）＝P（X＝6） =C61(12)6=332 ， P（X＝3）＝P（X＝5） =C62(12)6=1564 ， P（X＝4） =C63(12)6=516 ， ∴X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 7 p 164 332 1564 516 1564 332 164 ②∵ξ＝|20﹣5X|， ∴ξ的可能取值为0，5，10，15， P（ξ＝0）＝P（X＝4） =516 ， P（ξ＝5）＝P（X＝3）+P（X＝5） =1532 ， P（ξ＝10）＝P（X＝2）+P（X＝6） =316 ， P（ξ＝15）＝P（X＝1）+P（X＝7） =132 ． ∴E（ξ） =0×516+5×1532+10×316+15×132=7516< 8， ∴小明同学能盈利．

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