题目

如图，圆的直径AC=2，B为圆周上不与点A，C重合的点，PA垂直于圆所在的平面，∠PCA=45°． （Ⅰ）求证：PB⊥BC； （Ⅱ）若BC= ，求二面角B-PC-A的余弦值． 答案：解：（Ⅰ）如图，连结AB，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC． 又因为B在圆周上，所以AB⊥BC．故BC⊥平面PAB 故BC⊥PB（Ⅱ）解法一：过B作BD的垂线，垂足为D， 则BD⊥平面PAC． 再过D作PC的垂线，垂足为E， 则由PC⊥BD，PC⊥DE， 可知∠BED即为所求的角． 因为BC= 3 ， 所以BD= 32 ，CD= 32 ． 又因为∠PCA=45°， 所以DE= 324 ，BE= 304 ． 所以cos∠BDE= DEBE=155   （Ⅱ) 解法二：因为∠ABC=90°，所以可以以BC，BA为x，y轴建立如图直角坐标系 则B(0，0，0），A(0，1，0），C( 3 ，0，0），P(0，1，2) BC→ =( 3 ，0，0)， BP→ =（0，1，2) 平面PAC的一个法向量 n1→ =（1， 3 ，0）． 设平面PBC的一个法向量 n2→ =（x，y，z)． 则 n1→ ⊥ BC→ ， n2→ ⊥ BP→ ，得 3 x=0，y+2z=0 取z=1，得 n2→ =（0，-2，1）． 故cos< n1→ ， n2→ >= n1→·n2→|n1→|·|n2→| = 155

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