题目

已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上， 为坐标原点， ，且 . （1） 求抛物线 的方程； （2） 过焦点 ，且斜率为1的直线 与抛物线 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线 交抛物线 于 ， 两点，求四边形 的面积. 答案： 解：将 P(a,4) 代入抛物线的方程 y2=2px ，得 a=8p ，所以 P(8p,4) ， 因为 |PF|=5 ，所以 8p+p2=5 ，整理得 p2−10p+16=0 ， 解得 p=2 或 p=8 ， 当 p=2 时， P(4,4) ，满足 |OP|>5 ；当 p=8 时， P(1,4) ， |OP|<5 ， 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 解：因为 l 的方程为 x=y+1 ，代入 C ： y2=4x ，得 y2−4y−4=0 . 设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 y1+y2=4 ， y1y2=−4 ，故 AB 的中点为 D(3,2) ， |AB|=12+1(y1+y2)2−4y1y2=8 . 又因为 l' 的斜率为-1，所以 l' 的方程为 y−2=−(x−3) 即 x=−y+5 . 将上式代入 C ： y2=4x ，并整理得 y2+4y−20=0 . 设 M(x3,y3) ， N(x4,y4) ，则 y3+y4=−4 ， y3y4=−20 ， 故 |MN|=(−1)2+1(y3+y4)2−4y3y4=83 . 所以四边形 AMBN 的面积 S=12|AB|⋅|MN|=12×8×83=323

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