题目

在Rt△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F （1） 求证：△AEF≌△DEB； （2） 证明四边形ADCF是菱形； （3） 若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积． 答案： 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AFE和△DBE中， {∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE ∴△AFE≌△DBE（AAS）； 证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵AD为BC边上的中线 ∴DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD=DC= 12 BC， ∴四边形ADCF是菱形； 连接DF， ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCF= 12 AC▪DF= 12 ×4×5=10．

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