题目

数列{an}的前n项和为Sn ， 若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n． （1） 设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式； （2） 求数列{nan}的前n项和． 答案： 解：∵Sn=2an﹣3n，对于任意的正整数都成立， ∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3，两式相减，得a n+1=2an+1﹣2an﹣3，即an+1=2an+3，∴an+1+3=2（an+3），所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，∴an=6•2n﹣1﹣3=3•2n﹣3 解：∵nan=3×n•2n﹣3n ∴Sn=3（1•2+2•22+3•23+…+n•2n）﹣3（1+2+3+…+n），2Sn=3（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），∴﹣Sn=3（2+22+23+…+2n﹣n•2n+1）+3（1+2+3+…+n）= 3×2(2n−1)2−1−6n⋅2n+3n(n+1)2 ∴Sn= (6n−6)⋅2n+6−3n(n+1)2

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