题目

某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为S2 ， 折叠后重合部分△ACP的面积为S1 ． （Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（Ⅱ）求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？（Ⅲ）求面积（S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？ 答案：解：（Ⅰ）由题意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2设DP=y，则PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2即： y=2(1−1x)，1<x<2 .（Ⅱ）记△ADP的面积为S2，则 S2=(1−1x)(2−x)=3−(x+2x)≤3−22 ．当且仅当 x=2∈(1，2) 时，S2取得最大值．故当材料长为 2m ，宽为 (2−2)m 时，S2最大．（Ⅲ） S1+2S2=12x(2−x)+(1−1x)(2−x)=3−12(x2+4x)，1<x<2于是令 (S1+2S2)'=−12(2x−4x2)=−x3+2x2=0 ，∴ x=23∴关于x的函数 F(t)=lnt−2(t−1)t+1>F(1)=0 在 (1，23) 上递增，在 (23，2) 上递减，∴当 x=23 时，S1+2S2取得最大值．故当材料长为 23m ，宽为 (2−23)m 时，S1+2S2最大

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