题目

在直角坐标系 中， 曲线 的参数方程为 为参数） ，若以直角坐标系中的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为 为实数 ． （1） 求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2） 若曲线 与曲线 有公共点， 求 的取值范围 ． 答案： 解：因为 x=22sinα+22cosα=sin(α+π4) ，所以 x∈[−1,1] ． 由 x=22sinα+22cosα 平方得： x2=12(1+2sinαcosα)=12+sinαcosα 又 y=sinαcosα−12 两式相减得 x2−y=1 ， 故曲线 C1 的普通方程为 y=x2−1 ， x∈[−1,1] ． 另由 ρsin(θ−π4)=22t 得 C2 的直角坐标方程为 y−x= 解：如图，当直线 y−x=t 过点 (−1,0) 时， t=1 ； 当直线 y−x=t 与 y=x2−1 相切时， 由 {y=x2−1y−x=t  得 x2−x−1−t=0 由 Δ=1+4(1+t)=0 得 t=−54 ， 从而，曲线 C1 与曲线 C2 有公共点时， t∈[−54,1]

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