题目

综合与实践 在数学活动课上，老师给出 ， ， ．点 为 的中点，点 在射线DC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，CE．过点F作 ，交直线AB于点H． （1） 若点 在线段 上，如图1， ①根据题意补全图1（不要求尺规作图）； ②判断 与 的数量关系并加以证明； （2） 若点 为线段 的延长线上一点，如图2，且 ， ，补全图2，求 的面积． 答案： 解：①补全图如图1所示， ②FH与FC的数量关系是：FH=FC． 证明如下： 如图2，延长DF交AB于点G， 由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF， ∴DG∥CB， ∵点D为AC的中点， ∴点G为AB的中点，且DC= 12 AC， ∴DG为△ABC的中位线， ∴DG= 12 BC． ∵AC=BC， ∴DC=DG， ∴DC-DE=DG-DF， 即EC=FG． ∵∠EDF=90°，FH⊥FC， ∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°， ∴∠1=∠2． ∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠DGA=45°， ∴∠CEF=∠FGH=135°， 在△CEF和△FGH中， ∵ {∠1＝∠2EC=FG∠CFE＝∠FGH ， ∴△CEF≌△FGH（ASA）， ∴CF=FH； 解：如图3， ∴∠DFE=∠DEF=45°， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠CBA=45°， ∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF， ∴∠EDF=90°，ED=FD， ∴DF∥BC， ∴∠CBA=∠FGB=45°，∠DFC=∠FCB， ∴∠FGH=∠CEF=45°， ∵点D为AC的中点，DF∥BC， ∴DG= 12 BC，DC= 12 AC， ∴DG=DC， ∴ED- DC =FD-DG， ∴EC=GF， ∵∠DFC=∠FCB，∠ECB=∠CFH=90 ° ， ∴∠DFC+∠CFH=∠FCB+∠ECB， ∴∠GFH=∠ECF， 在△FCE和△HFG中， ∵ {∠CEF＝∠FGHEC＝GF∠ECF＝∠GFH ， ∴△FCE≌△HFG（ASA）， ∴HF=FC， ∵∠EDF=90°，DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE=45°， ∵∠CFE=15°， ∴∠DFC=45°-15°=30°， ∴CF=2CD，DF= 3 CD， ∵DE=DF，CE= 2 ． ∴ 2 +CD= 3 CD， 解得：CD= 3+1 ， ∴CF=2CD= 23+2 ． ∵∠CFH=90°， ∴△FCH的面积为： 12CF·CH=12CF2=12(23+2)2=8+43 ．

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