题目

已知函数 （ ， ）为奇函数，且 图象的相邻两对称轴间的距离为 . （1） 求 的解析式与单调递减区间； （2） 将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域. 答案： 解：由题意， f(x)=3sin(ωx+φ)+2sin2(ωx+φ2)−1 =3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ) =2sin(ωx+φ−π6) ， ∵ f(x) 图象的相邻两对称轴间的距离为 π2 ， ∴ f(x) 的最小正周期为 T=π ，即可得 ω=2 ， 又 f(x) 为奇函数，则 φ−π6=kπ，k∈Z ，又 0<φ<π ， ∴ φ=π6 ，故 f(x)=2sin2x ， 令 π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z ，得 π4+kπ≤x≤3π4+kπ，k∈Z ， ∴函数 f(x) 的递减区间为 [π4+kπ，3π4+kπ]，k∈Z 解：将函数 f(x) 的图象向右平移 π6 个单位长度，可得 y=2sin(2x−π3) 的图象， 再把横坐标缩小为原来的 12 ，得到函数 y=g(x)=2sin(4x−π3) 的图象， 当 x∈[−π12，π6] 时， 4x−π3∈[−2π3，π3] ∴ sin(4x−π3)∈[−1，32] ，则 2sin(4x−π3)∈[−2，3] ， 故 g(x) 的值域 [−2，3]

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