题目

已知函数 . （1） 当 时，求函数 的单调递减区间； （2） 若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围． 答案： 解：由题意知，函数的定义域为 (0,+∞) ， 当 a=−2 时， f'(x)=2x−2x=2(x+1)(x−1)x ， 当 f'(x)<0 时， x∈(0,1) ，当 f′(x)>0 时， x∈(1,+∞) ， 故 f(x) 的单调递减区间是 (0,1), 单调增区间是 (1,+∞) 解：由题意得 g'(x)=2x+ax−2x2 ， 函数 g(x) 在 [1,+∞) 上是单调函数． ① 若 g(x) 为 [1,+∞) 上的单调增函数， 则 g'(x)≥0 在 [1,+∞) 上恒成立， 即 a≥2x−2x2 在 [1,+∞) 上恒成立， 设 φ(x)=2x−2x2 ， ∵φ(x) 在 [1,+∞) 上单调递减， ∴φ(x)max=φ(1)=0 ， ∴a≥0. ② 若 g(x) 为 [1,+∞) 上的单调减函数， 则 g'(x)≤0 在 [1,+∞) 上恒成立，不可能． ∴ 实数a的取值范围为 [0,+∞).

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