题目

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14 。点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF。 （1） 如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD=2DO． （2） 已知点G为AF的中点。 ①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长。 ②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由。 答案： 解：由旋转的性质得： CD=CF，∠DCF=90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，AD=BD， ∴∠ADO=90°，CD=BD=AD， ∴∠DCF=∠ADC， 在△ADO和△FCO中， ∵ {∠AOD=∠FOC∠ADO=∠FCOAD=FC ， ∴△ADO≌△FCO（AAS）， ∴DO=CO， ∴BD=CD=2DO. 解：①如图1，分别过点D、F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF， ∴∠DNE=∠EMF=90°， 又∵∠NDE=∠MEF，DE=EF， ∴△DNE≌△EMF， ∴DN=EM， 又∵BD=7 2 ，∠ABC=45°， ∴DN=EM=7， ∴BM=BC-ME-EC=5， ∴MF=NE=NC-EC=5， ∴BF=5 2 ， ∵点D、G分别是AB、AF的中点， ∴DG= 12 BF= 52 2 ； ②过点D作DH⊥BC于点H， ∵AD=6BD，AB=14 2 ， ∴BD=2 2 ， （ⅰ）当∠DEG=90°时，有如图2、3两种情况，设CE=t， ∵∠DEF=90°，∠DEG=90°， ∴点E在线段AF上， ∴BH=DH=2，BE=14-t，HE=BE-BH=12-t， ∵△DHE∽△ECA， ∴ DHEC=HECA ， 即 2t=12−t14 ， 解得：t=6±2 2 ， ∴CE=6+2 2 ，或CE=6-2 2 ， （ⅱ）当DG∥BC时，如图4,过点F作FK⊥BC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN=NA，连结FM， 则NC=DH=2，MC=10， 设GN=t，则FM=2t，BK=14-2t， ∵△DHE∽△EKF， ∴DH=EK=2，HE=KF=14-2t， ∵MC=FK， ∴14-2t=10， 解得：t=2， ∵GN=EC=2，GN∥EC， ∴四边形GECN为平行四边形，∠ACB=90°， ∴四边形GECN为矩形， ∴∠EGN=90°， ∴当EC=2时，有∠DGE=90°， （ⅲ）当∠EDG=90°时，如图5： 过点G、F分别作AC的垂线交射线于点N、M，过点E作EK⊥FM于点K，过点D作GN的垂线交NG的延长线于点P，则PN=HC=BC-HB=12， 设GN=t，则FM=2t， ∴PG=PN-GN=12-t， ∵△DHE∽△EKF， ∴FK=2， ∴CE=KM=2t-2， ∴HE=HC-CE=12-（2t-2）=14-2t， ∴EK=HE=14-2t， AM=AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t， ∴MN= 12 AM=14-t，NC=MN-CM=t， ∴PD=t-2， ∵△GPD∽△DHE， ∴ GPDH=PDHE ， 即 12−t2=t−214−2t ， 解得：t1=10- 14 ，t2=10+ 14 （舍去）， ∴CE=2t-2=18-2 14 ； 综上所述：CE的长为=6+2 2 ，6-2 2 ，2或18-2 14 .

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