题目

如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ，点 分别是 和 的中点. （1） 证明： ； （2） 求二面角 的余弦值. 答案： 解：建立如图的空间直角坐标系， 由已知可得 C(0,2,0) ， A1(0,0,2) ， M(1,0,1) ， N(1,1,2) 所以 A1M⇀=(1,0,−1) ， MC⇀=(−1,2,−1) ， 所以 A1M⇀⋅MC⇀=(−1)×1+0×2+(−1)×(−1)=0 ， 所以 A1M⊥MC . 解：由（1）知， A1M⊥MC ，而 A1M⊥MA ， 所以 MA1⇀ 是平面 MCA 的一个法向量， MA1⇀=(−1,0,1) ， 设平面 NMC 的法向量为 n⇀=(x,y,z) ，由 MN⇀=(0,1,1) ， MC⇀=(−1,2,−1) 得 {n⇀·MN⇀=0n⇀·MC⇀=0 ⇒{y+z=0−x+2y−z=0 ⇒{y=−zx=−3z  ， 令 y=1 ，得 n⇀=(3,1,−1) ， 设向量 MA1⇀ 和 n⇀ 向量的夹角为 θ ， 则 cosθ=MA1⇀·n⇀|MA1⇀|⋅|n⇀|=−422=−22211 ， 所以二面角 N−MC−A 的余弦值为 −22211 。

查看本题答案和解析