题目

在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y= （m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”， （1） 请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是；双曲线y= 的“半双曲线”是； （2） 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积； （3） 如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP ， 且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围． 答案： 【1】y= 6x【2】y= 4x 解：如图1，∵双曲线y= 4x 的“半双曲线”是y= 2x ，∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，∴△AOB的面积为1 解：解法一：如图2，依题意可知双曲线 y=2kx(k>0) 的“半双曲线”为 y=kx(k>0) ，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m， 2km ），点N坐标为（m， km ），∴CM= 2km ，CN= km ．∴MN= 2km ﹣ km = km ．同理PM=m﹣ m2 = m2 ．∴S△PMN= 12 MN•PM= k4∵1≤S△PMN≤2，∴1≤ k4 ≤2．∴4≤k≤8，解法二：如图3，依题意可知双曲线 y=2kx(k>0) 的“半双曲线”为 y=kx(k>0) ，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m， 2km ），点N坐标为（m， km ），∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．连接OM，∵ PMOC=MNMC=12 ，∴△PMN∽△OCM．∴ S△PMNS△OCM=14 ．∵S△OCM=k，∴S△PMN= k4 ．∵1≤S△PMN≤2，∴1≤ k4 ≤2．∴4≤k≤8．

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