题目

近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量 （单位：mg/L）与过滤时间 （单位：h）间的关系为 （ ， 均为非零常数，e为自然对数的底数），其中 为 时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物. （1） 求常数 的值； （2） 试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据： ， ， ， ， ） 答案： 解: 由已知得，当 t=0 时， P=P0 ；当 t=5 时， P=90%P0 . 于是有 90%P0=P0e−5k ，解得 k=−15ln0.9 （或 k≈0.022 ）. 解: 由（1）知 P=P0e(15ln0.9)t ，当 P=40%P0 时，有 0.4P0=P0e(15ln0.9)t ， 解得 t=ln0.415ln0.9≈−0.9215×(−0.11)=4.600.11≈42 . 故污染物减少到40%至少需要42h.

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