题目

定义：已知点 是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点 叫做该三角形的等距点. （1） 如图1： 中， ， ， ， 在斜边 上，且点 是 的等距点，试求 的长； （2） 如图2， 中， ，点 在边 上， ， 为 中点，且 . ①求证： 的外接圆圆心是 的等距点；②求 的值. 答案： 解：如图所示，作OF⊥BC于点F，作OE⊥AC于点E， 则△OBF∽△ABC， ∴ OBAB=OFAC=BFBC ∵ AC=3 ， BC=4 ，由勾股定理可得AB=5， 设OB=x，则 x5=OF3=BF4 ∴ OF=35x ， BF=45x ∵点 O 是 ΔABC 的等距点， 若OB=OE， OE=4−45x ∴ x=4−45x 解得： x=209 若OA=OF，OA=5-x ∴ 5−x=35x ，解得 x=258 故OB的值为 258 或 209 ①证明：∵△CDP是直角三角形，所以取CD中点O，作出△CDP的外接圆，连接OP，OB 设圆O的半径为r，则DC=2r， ∵D是AC中点， ∴OA=3r ∴ ADAO=23 ， 又∵PA=2PB， ∴AB=3PB ∴ PAAB=23 ∴ DP//OB ∴∠ODP=∠COB，∠OPD=∠POB 又∵∠ODP=∠OPD， ∴∠COB=∠POB， 在△CBO与△PBO中， {OC=OP∠COB=∠POBOB=OB ， ∴△CBO≌△PBO（SAS） ∴∠OCB=∠OPB=90°， ∴OP⊥AB， 即OP为点O到AB的距离， 又∵OP=OC， ∴△CPD的外接圆圆心O是△ABC的等距点 ②由①可知，△OPA为直角三角形，且∠PDC=∠BOC，OC=OP=r ∵在Rt△OPA中，OA=3r, ∴ AP=(3r)2−r2=22r ， ∴ AB=32r ∴在Rt△ABC中，AC=4r， AB=32r ， ∴ BC=AB2−AC2=2r ， ∴ tan∠PDC=tan∠BOC=BCOC=2rr=2

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