题目

已知函数 . （1） 当 时，讨论 的单调性； （2） 若 有两个零点，求a的取值范围. 答案： 解：当 a=1 时， f(x)=ex−(x+2) ， f'(x)=ex−1 ， 令 f'(x)<0 ，解得 x<0 ，令 f'(x)>0 ，解得 x>0 ， 所以 f(x) 的减区间为 (−∞,0) ，增区间为 (0,+∞) ； 解：若 f(x) 有两个零点，即 ex−a(x+2)=0 有两个解， 从方程可知， x=2 不成立，即 a=exx+2 有两个解， 令 h(x)=exx+2(x≠−2) ，则有 h'(x)=ex(x+2)−ex(x+2)2=ex(x+1)(x+2)2 ， 令 h'(x)>0 ，解得 x>−1 ，令 h'(x)<0 ，解得 x<−2 或 −2<x<−1 ， 所以函数 h(x) 在 (−∞,−2) 和 (−2,−1) 上单调递减，在 (−1,+∞) 上单调递增， 且当 x<−2 时， h(x)<0 ， 而 x→−2+ 时， h(x)→+∞ ，当 x→+∞ 时， h(x)→+∞ ， 所以当 a=exx+2 有两个解时，有 a>h(−1)=1e ， 所以满足条件的 a 的取值范围是： (1e,+∞) .

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