题目

如图，AB为 的直径，且 ，点C是 上的一动点(不与A ， B重合)，过点B作 的切线交AC的延长线于点D ， 点E是BD的中点，连接EC ． （1） 求证：EC是 的切线； （2） 当 时，求阴影部分面积． 答案： 解：如图，连接BC，OC，OE， ∵ AB为 ⊙O 的直径， ∴∠ACB=90° ， 在 RtΔBDC 中， ∵BE=ED ， ∴DE=EC=BE ， ∵OC=OB ， OE=OE ， ∴ΔOCE≅ΔOBE(SSS) ， ∴∠OCE=∠OBE ， ∵ BD是 ⊙O 的切线， ∴∠ABD=90° ， ∴∠OCE=∠ABD=90° ， ∵ OC为半径， ∴ EC是 ⊙O 的切线 解： ∵OA=OB ， BE=DE ， ∴AD∥OE ， ∴∠D=∠OEB ， ∵∠D=30° ， ∴∠OEB=30° ， ∠EOB=60° ， ∴∠BOC=120° ， ∵AB=43 ， ∴OB=23 ， ∴BE=23×3=6 ． ∴ 四边形OBEC的面积为 2SΔOBE=2×12×6×23=123 ， ∴ 阴影部分面积为 S四边形OBEC−S扇形BOC=123−120⋅π×(23)2360=123−4π

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